anti turunan ( integral tak tentu)

Integral (Anti Turunan)

Matematika mempunyai banyak pasangan operasi kebalikan, diantaranya : penjumlahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, penarikan logaritma dengan perhitungan logaritma, serta pemangkatan dengan penarikan akar. Turunan juga memiliki operasi kebalikan, yaitu yang biasa kita sebut integral atau anti turunan berikut ini adalah konsep-konsep dasar Integral, definisi, dan teorema-teorema yang menyertai integral serta contoh- contoh soal pemahaman materi.

• Anti Turunan (Integral Tak-Tentu)

Definisi :

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I yakni, jika F'(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu ujung titik ujung dari I, F'(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Kita menggunakan istilah “suatu anti turunan” daripada “anti turunan” dalam definisi, karena jika suatu fungsi f mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan famili dan setiap anggota dari famili ini dapat diperoleh dari salah satu di antara mereka dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok. Famili fungsi ini kita namakan anti turunan umum dari f. Setelah kita terbiasa dengan definisi ini, seringkali kita akan menghilangkan kata sifat umum itu.

Notasi untuk anti turunan bisa memakai Ax, contoh :
Ax (x³) = 1/4 x ⁴+ C

Tetapi, notasi Leibniz lebih populer sehingga pemakaian lambang ∫…dx lebih sering digunakan, contohnya :

∫ x³ dx = 1/4 x ⁴ + C



Teorema A

(Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ x^r dx = x^{r + 1} / (r + 1) + C



Teorema B
∫ sin x dx = – cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C

Teorema C

(Kelinearan dari ∫… dx) Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :

• ∫ k f(x)dx = k ∫ f(x) dx;

• ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx;

• ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx;

Teorema D

(Aturan Pangkat Yang Diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka:

∫ [g(x)]^r g'(x) dx = [g (x)]^{r + 1} / (r + 1) + C



Contoh soal:
1. Carilah integral tak tentu dari f(x) = ∫ (5x² – 12)¹³ 10x² dx
Jawab :
∫ [g(x)]^r g'(x) dx = [g (x)]^{r + 1} / (r + 1) + C
Andaikan g (x) = 5x² – 12 maka g’ (x) = 10x
Jadi, menurut Teorema D:
∫ (5x² – 12)¹³ 10x² dx = ∫ [g(x)]¹³ g'(x) dx = [g (x)]^{13 + 1} / (13+ 1) + C
= 1/14(5x² – 12)¹⁴ + C
2. Carilah ∫ Sin⁴ x cos x dx
Jawab :

Andaikan g(x) = sin x maka g’ (x) = cos x, berdasarkan teorema B dan D:

∫ sin⁴ x cos x dx = ∫ [g(x)]⁴ g'(x) dx = [g (x)]⁴⁺¹ / (4+1) + C
= 1/5 sin⁵ x + C
3. Hitunglah integral tak tentu dari: ∫ sin (2x + 1)
Jawab:
Andaikan u = (2x + 1) maka du = 2 dx
∫ sin (2x + 1) = ½ ∫ sin u du = -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (2x + 1) + C
4. Cari ∫ (4x ² + 4x ) dx !
Jawab :
Berdasarkan Teorema C:
∫ (4x ² + 4x ) dx = ∫ 4x² dx + ∫ 4x dx
∫ (4x ² + 4x ) dx = 4 ∫ x² dx + 4 ∫ x dx
= 4 (1/3x³+ C1) + 4 (1/2x²+ C2)
= 4/3 x³ + 2x² + (4 C1 + 4C2)
= 2x³ + 2x² + C

• Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Dalam bahasa diferensial, F'(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx. Sehingga:

∫ f(x) dx = F(x) + C (asalkan F'(x) = f(x))

↓

∫ dF(x) = F(x) + C

Berdasarkan persamaan diatas, dalam pandangan Leibniz berarti pengintegralan diferensial suatu fungsi adalah untuk memperoleh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta).

Sebarang persamaan dengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi dan yang mencakup turunan (atau diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut persamaan diferensial.

Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui.

Contoh persamaan diferensial adalah :

dy/dx = 3x² +1
Kemudian cari penyelesaiannya bilamana y = 4 dan nilai x = 1
Jawab :
Bila kedua ruas dikalikan dengan dx, diperoleh
dy = 3x² +1 dx
Kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan,
∫dy = ∫ 3x² +1 dx
y + C1 = x³ + x + C2
y = x³ + x + C2 – C1
y = x³ + x + C
Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 4 bilamana x = 1
4 = (1)³ + (1) + C
4 = 2 + C
C = 4 – 2
C = 2
Jadi,
y = x³ + x + 2
Referensi:

Purell, Varberg. 2000. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi kelima. Penerbit Erlangga: Jakarta